Vom Tod eines Sterns zur Geburt eines Schwarzen Lochs: numerische Lösungen für Einsteins Gleichungen

Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie ist ein Eckstein unseres Verständnisses der modernen Physik. Da die Theorie auf einem System nicht-linearer Gleichungen basiert, sind wir jedoch auch heute, 90 Jahre nachdem Einstein die Theorie formulierte, weit davon entfernt, die mathematischen Eigenschaften der Einsteingleichungen vollständig zu verstehen.

Für einige wenige Spezialfälle sind analytische Lösungen der Gleichungen bekannt. Unter allgemeineren Bedingungen wurden jedoch bisher keine analytischen Lösungen gefunden. Durch die Weiterentwicklung numerischer Methoden konnte das Verhalten der Allgemeinen Relativitätstheorie allerdings auch in Bereichen untersucht werden, die analytisch nicht gut verstanden sind. Es ist deshalb keine Überraschung, dass die numerische Lösung der Einsteingleichungen oft eine große Herausforderung ist: Man begibt sich auf ein gefährliches Terrain, und das Risiko besteht, dass sowohl numerische als auch mathematische Schwierigkeiten auftreten, die das Ergebnis beeinflussen oder verfälschen können.

In der Tat haben die Probleme, auf die man in der numerischen Relativitätstheorie trifft, eine Vielzahl unterschiedlicher Ursachen. In der Allgemeinen Relativitätstheorie sind alle Koordinatensysteme gleichberechtigt; diese besondere Eigenschaft bezeichnet man als Kovarianz. Das ist mathematisch sehr elegant, gleichzeitig bedeutet es aber, dass man sich für die numerischen Simulationen sehr genau überlegen muss, in welchen Koordinaten man eine physikalische Situation modelliert, um den Anforderungen von Physik und Simulation gleichermaßen gerecht zu werden. Die zweite Schwierigkeit ergibt sich durch die so genannte Eichfreiheit, die die willkürliche Wahl von Bedingungen erlaubt, unter denen die Raum- und Zeitkoordinaten numerisch entwickelt werden. Die Wahl dieser Eichbedingungen ist irrelevant für den physikalischen Gehalt der Lösung, jedoch kann sie starken Einfluss auf das Verhalten und die Stabilität der numerischen Lösung haben. Eine weitere Einschränkung entsteht durch das Auftreten so genannter physikalischer Singularitäten. Diese gehen typischerweise damit einher, dass bestimmte, zur Beschreibung der Raumzeit-Krümmung dienende Größen gegen unendlich streben. Das bedeutet, dass sich die Geometrie der Raumzeit in der Nähe von Singularitäten extrem stark verändert. Es ist daher problematisch, solche Regionen auf dem groben Koordinatengitter einer Computersimulation zu modellieren, ohne dass große Ungenauigkeiten auftreten.

Glücklicherweise wurde in den letzten Jahren eine Reihe wichtiger Probleme gelöst und die numerischen Lösungen der Einsteingleichungen in allgemeiner vier-dimensionaler Raum-Zeit waren nie zuvor so exakt und stabil. Dieser Fortschritt kommt zur rechten Zeit, besteht doch ein dringender Bedarf an theoretischen Vorhersagen für die Form von Gravitationswellen, die von den Gravitationswellendetektoren GEO600, LIGO, VIRGO und TAMA beobachtet werden sollen. Ein gutes theoretisches Verständnis ist dabei essenziell, um physikalische Informationen aus den Signalen herauszulesen.

Die Arbeitsgruppe „Numerische Relativitätstheorie” des Max-Planck-Instituts für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut, AEI) spielte bei den jüngsten Fortschritten eine wichtige Rolle. Diese bestehen zum großen Teil in der Entwicklung von allgemeinen numerischen Methoden zur Lösung der Einsteingleichungen. Implementiert wurden diese Methoden auf Basis kartesischer Koordinaten mit adaptiven numerischen Gittern im Rahmen der sehr flexiblen, parallelen Softwareumgebung CACTUS, die in enger Zusammenarbeit mit Wissenschaftlern der Louisiana State University in Baton Rouge (USA) weiterentwickelt wird. Mit CACTUS gelang der Gruppe ein beachtlicher Fortschritt in einem der dringlichsten Probleme der Gravitationsphysik: der Lösung des Zweikörperproblems spiralförmig ineinander stürzender und miteinander verschmelzender Schwarzer Löcher. Dieser Vorgang, der eines der wichtigsten astrophysikalischen Forschungsobjekte der zurzeit arbeitenden Gravitationswellendetektoren ist, kann nur mithilfe der Allgemeinen Relativitätstheorie korrekt beschrieben werden. Wenn sich die beiden Schwarzen Löcher spiralförmig aufeinander zu bewegen, gewinnen die nichtlinearen Terme der Einsteingleichungen an Bedeutung und Näherungsmethoden brechen zusammen. Dies ist genau die Phase, in der die Emission von Gravitationswellen am stärksten ist. Der komplette Satz an Einsteingleichungen muss gelöst werden, um einen genauen „Steckbrief“ der Gravitationswellen zu erstellen, mit dessen Hilfe man solche Phänomene bei der Datenanalyse finden kann.

Die AEI-Gruppe berechnet Lösungen der Einsteingleichungen ausgehend von folgenden Anfangsbedingungen: Ein System zweier umeinander rotierender Schwarzer Löcher befindet sich auf der engsten noch stabilen Umlaufbahn. Die Rechnung startet also, bevor die beiden Schwarzen Löcher direkt aufeinander zustürzen. Für die numerische Zeitentwicklung wurden am AEI neue Eichbedingungen entwickelt, die dynamisch an die Bewegung des Horizonts auf einem räumlichen Gitter angepasst sind. In Abbildung 1 werden die Ergebnisse einer typischen Entwicklung gezeigt. Die beiden Schwarzen Löcher bewegen sich aufeinander zu, bis sich schließlich ein gemeinsamer Horizont um das Paar bildet. Dieser zeigt an, dass sie zu einem gemeinsamen Schwarzen Loch verschmolzen sind. Die Evolution des resultierenden einzelnen Schwarzen Lochs kann über die Verschmelzung hinaus verfolgt werden. Die Simulation lässt sich auch nach der Verschmelzung längere Zeit weiterverfolgen, sodass eine Art „Gegenprobe“ durchgeführt werden kann: Diese sehr späte Phase lässt sich unabhängig von den numerischen 3D-Simulationen mithilfe bewährter Näherungsverfahren untersuchen (Störungsrechnung eines rotierenden Schwarzes Lochs, das durch die so genannte Kerr-Lösung beschrieben wird). Der Vergleich beider Verfahren bestätigt, dass die 3D-Simulationen zu physikalisch sinnvollen Endzuständen führen [1].

Ein zweiter wichtiger Durchbruch der Arbeitsgruppe für Numerische Relativitätstheorie am AEI ist die Berechnung der Gravitationswellenemission bei der Entstehung eines rotierenden Schwarzen Lochs. Bei diesem Problem muss nicht nur die gekrümmte Raumzeit im Vakuum, sondern auch die Materie und ihre zeitliche Entwicklung berücksichtigt werden. Dies gelang durch die Entwicklung des so genannten WHISKY-Codes, einem Computerprogramm, das in Zusammenarbeit mit mehreren europäischen Forschungsgruppen entwickelt wurde, insbesondere mit den Wissenschaftlern am italienischen SISSA in Triest (Scuola Internationale Studi Avanzati). WHISKY ist vollkommen in CACTUS integriert und erlaubt somit das Erforschen von Lösungen der Einsteingleichungen für realistische Nicht-Vakuum-Raumzeiten.

Als eine erste Anwendung für WHISKY hat die Gruppe den Gravitationskollaps eines Neutronensterns zu einem rotierenden Schwarzen Loch untersucht. Der Gravitationskollaps ist eine fundamentale Voraussage der Allgemeinen Relativitätstheorie und eines der spannendsten Phänomene der Physik, da der Kollaps eines kompakten Sterns eine der stärksten Quellen für elektromagnetische und Gravitationsstrahlung darstellt. Vom numerischen Standpunkt ist das Problem jedoch sehr anspruchsvoll und es gab bislang nur eine Berechnung der Gravitationswellensignatur, die allerdings 20 Jahre alt ist und in Axialsymmetrie (2D) durchgeführt wurde [2]. Die Gründe dafür sind vielfältig, aber hauptsächlich damit verbunden, dass die Umwandlung von Gravitationsbindungsenergie in Gravitationsstrahlung sehr ineffizient abläuft und nur ein Millionstel der Systemenergie abgestrahlt wird. Deshalb ist sehr genaues Rechnen notwendig. Weiterhin ist zum Erkennen des Gravitationswellensignals nicht nur eine korrekte Auflösung der Materiebewegungen und der Raum-Zeit-Dynamik nötig, sondern man muss auch auf einem ausreichend großen Raumbereich rechnen können. Nur wenn man die Form der Gravitationswellen weit entfernt von ihrer Quelle untersuchen kann, erhält man relevante Ergebnisse, denn nur weit entfernt von ihrer Quelle nehmen Gravitationswellen ihre asymptotische Form an. Die neue numerische Methode [3] erlaubt es erstmals, die Gravitationswellenemission aus einer komplett dreidimensionalen Rechnung zu bestimmen (Abb. 2). Die Wellenformen, die nach dieser Methode berechnet wurden (Abb. 3) erlauben eine weitaus genauere und damit bessere Einschätzung der Detektierbarkeit ihrer Quellen als vorangegangene Ergebnisse. Sie haben insbesondere gezeigt, dass die Geburt eines Schwarzen Lochs zwar mit den heutigen Detektoren verfolgt werden kann, wenn sie in der nicht allzu weit entfernten galaktischen Umgebung stattfindet. Weiter entfernte Ereignisse aus der ganzen Galaxis können jedoch erst mit der nächsten Generation der interferometrischen Detektoren beobachtet werden [4].

Eine dritte neue und hochinteressante Forschungsrichtung ist die Untersuchung der Dynamik von so genannten Kern-Kollaps-Supernovae. Solche Supernova-Explosionen markieren das dramatische Lebensende sehr massiver Sterne und gehören zu den energiereichsten Ereignissen im Universum. Trotz vieler Jahrzehnte Forschung auf diesem Gebiet bleibt das Schlüsselproblem zum Verständnis bis heute ungelöst: die Frage nämlich, wie die Gravitationsbindungsenergie des kollabierenden stellaren Eisenkerns so umgewandelt werden kann, dass sie die Explosion effizient vorantreibt.

Am AEI wird WHISKY/CACTUS auf dreidimensionale vollrelativistische Simulationen eines solchen stellaren Kernkollaps und der Evolution des resultierenden Protoneutronensterns angewandt. Dies ist ein großer Fortschritt in einem Gebiet, das bisher hauptsächlich im Rahmen der Newtonschen Gravitation betrachtet wurde. Speziell erforscht die Gruppe die Entwicklung nicht-axialsymmetrischer Verformung in rotierenden Protoneutronensternen, die als Folge dynamischer Instabilität, ausgelöst durch ein Übermaß an Rotationsenergie, auftritt. Derartige Verformungen führen zur Abstrahlung starker Gravitationswellen (Abb. 4).

Die Untersuchung der Supernovaphysik ist ein sehr kompliziertes Unterfangen. Zusammen mit einer korrekten Behandlung der Gravitation muss eine realistische Supernovasimulation eine detaillierte Beschreibung der relevanten Mikrophysik, des Neutrino-Strahlungstransports und der nuklearen Zustandsgleichung beinhalten. All diese Aspekte erhöhen massiv die Komplexität der numerischen Simulationen, die schrittweise mit der Einbeziehung weiterer physikalischer Details besser werden.

Abschließend ist zu sagen, dass es endlich gelungen ist, eine Reihe von Problemen und Instabilitäten zu überwinden, die in der Vergangenheit langfristige numerische Zeitentwicklungen in der Allgemeinen Relativitätstheorie unmöglich machten. Simulationen wie die am AEI durchgeführten sind wichtige Meilensteine, um neue Möglichkeiten und Wege der Anwendung der Einsteingleichungen aufzuzeigen und die Erforschung der komplizierten Physik von Schwarzen Löchern und Neutronensternen zu ermöglichen. Luca Baiotti,
Peter Diener, Harry Dimmelmeier, Jose Font, Ian Hawke, Frank Herrmann, Frank Loeffler, Pedro Montero, Denis Pollney, Christian Ott, Erik
Schnetter, Ed Seidel, Nikolaos Stergioulas, Ryoji Takahashi, Jonathan Thornburg, Jason Ventrella