Max-Planck-Institut für Mathematik

Geordie Williamson erhält den Max-Planck-Humboldt-Forschungspreis 2024, an Laura Waller und Torsten Hoefler gehen Max-Planck-Humboldt-Medaillen

Er gilt als der „Mozart der Mathematik“. So titelte der Spiegel kürzlich. Jetzt hat der 30–jährige Peter Scholze einen der bedeutendsten Mathematik-Preise erhalten, die Fields-Medaille. Ein Gespräch über seine Forschung, universelles Wissen und offene Wünsche

Dem neuen Direktor am Max-Planck-Institut für Mathematik wird die höchste Auszeichnung seiner Disziplin verliehen

Für manche ist die Mathematik nichts weiter als eine Ansammlung abstrakter Formeln und trockener Rechenrezepte. Nicht so für Friedrich Hirzebruch, den Gründungsdirektor des Max-Planck-Instituts für Mathematik in Bonn: Er war der Schönheit des Fachs schon in seiner Jugend erlegen. Als „Nestor der deutschen Nachkriegsmathematik“ machte Hirzebruch die Stadt am Rhein zu einem Anziehungspunkt für Forscher aus aller Welt.

Johann Sebastian Bach, Le Corbusier und Maurits Escher: Die Mathematik hat viele Künstler beeinflusst. Aber auch der Mathematik selbst wohnt Schönheit inne. Unser Autor jedenfalls ist fest davon überzeugt und begeistert sich für deren Kürze, Schlichtheit, Klarheit und absolute Überzeugungskraft ihrer Argumentationen und Ideen.

Die Höhere Algebra befasst sich mit der Erweiterung der ganzen Zahlen um neuartige Bereiche des Zählens, den sogenannten stabilen Homotopiegruppen der Sphären, die reichhaltige Informationen über algebraische, geometrische und topologische Objekte kodieren. Die Bestimmung dieser Gruppen erweist sich als ein grundlegendes und ungemein schwieriges Problem der Mathematik. In diesem Beitrag beschreiben wir den chromatischen Zugang zu diesem Problem und die Verbindung mit der arithmetischen Geometrie, die die Bestätigung einer 50 Jahre alten Vorhersage erlaubt.

Die Einbettungstheorie ist der Teil der Topologie, die die Frage der Einbettbarkeit eines Raums in einen anderen Raum untersucht. Über die Einbettungen von Graphen in die Ebene ist viel bekannt, ebenso wie über Einbettungen der Kodimension größer als zwei. Jüngste Arbeiten konzentrieren sich auf die Frage der Einbettbarkeit im Fall der Kodimension zwei und verbinden sie mit der Löbarkeit gewisser Gleichungen in Gruppen. 

Die Langlands-Korrespondenz stellt einen Zusammenhang her zwischen gewissen Teilen der Algebra und gewissen Teilen der Analysis. Dieser Zusammenhang ist eng und momentan immer noch mehr Vermutung als Theorem. In den letzten Jahren jedoch gab es aufsehenerregende Fortschritte, basierend auf neuen Methoden aus der p-adischen Geometrie. Dieser Bericht gibt eine impressionistische Einführung in die Langlands-Korrespondenz und deutet die Ideen an, die den neuen Entwicklungen zugrunde liegen.

Die Topologie ist das Studium von Räumen. Die einfachsten Räume, die sogenannten Mannigfaltigkeiten, gleichen lokal den euklidischen Räaumen. Überraschenderweise verhalten sich Mannigfaltigkeiten der Dimensionen fünf und größer ähnlich zueinan- der, wohingegen niedrigdimensionale Räume schwerer zu kontrollieren sind. Eine bahnbrechende Arbeit von Freedman über 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten brachte 1982 viel Licht ins Dunkel. Leider ist diese Arbeit nur schwer zugänglich und wird von der mathematischen Gemeinschaft nicht ausreichend gut verstanden. Neue Arbeiten geben eine zugänglichere Darstellung der Ideen Freedmans, verallgemeinern sie und führen sie weiter fort.

Die Korrespondenz zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen ist eines der wichtigsten Prinzipien der Physik. Im Gegensatz zur klassischen Mechanik und zu Eichfeldtheorienspannen die Erhaltungsgrößen der Allgemeinen Relativitätstheorie keine Symmetrie-Algebra im herkömmlichen Sinn auf. Stattdessen erhält man ein sogenanntes Hamilton’sches Lie-Algebroid von einem auf natürliche Weise konstruierten Symmetrie-Gruppoid.