Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften

Neues mathematisches Modell zu genetischer Interaktion identifiziert Hauptregler in biologischen Netzwerken

Die Wissenschaftler und ihre Forschungsteams erhalten rund 40 Millionen Euro Förderung für ihre Arbeiten

Die Kartierung von Größe und Anzahl der Zellen des Körpers gibt Einblicke in die mathematische Ordnung im menschlichen Organismus

Forschende entwickeln neue Methode, um zu verstehen, wie sich Netzwerke synchronisieren

Der sächsische Ministerpräsident Michael Kretschmer (CDU) und Max-Planck-Präsident Patrick Cramer haben am 4. September zu einem Festakt im Kulturpalast in Dresden eingeladen. Anlass war die 30-jährige Erfolgsgeschichte der Max-Planck-Instiitute in Leipzig und Dresden

Studien zeigen: Je lauter politische Minderheiten in den sozialen Netzwerken schreien, desto stiller wird die demokratische Mehrheit. Hass, Hetze und Propaganda gedeihen in Echokammern besonders gut, dadurch wird die Wahrnehmung im politischen Diskurs verzerrt. Forschende untersuchen dieses Phänomen sozialwissenschaftlich, juristisch und mathematisch.

Selbstlernende Algorithmen sind dabei, unsere Gesellschaft gehörig umzukrempeln. Doch allzu oft verstehen ihre Entwickler selbst nicht genau, wie sie funktionieren. Mit grundlegenden Theorien zum maschinellen Lernen wollen Forschende des Max-Planck-Instituts für Mathematik in den Naturwissenschaften nun Abhilfe schaffen.

Politische Debatten geraten heute oft zur verbalen Keilerei - vor allem in sozialen Medien. Um dem entgegenzuwirken, untersuchen Eckehard Olbrich und Sven Banisch am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften sowie Philipp Lorenz-Spreen am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung, wie es zu Polarisierung kommt und wie Meinungsbildung in Gruppen funktioniert.

Strukturen, bei denen mehr als zwei Elemente in Beziehung stehen können, wie die Substanzen in chemischen Reaktionen oder die gemeinsamen Veröffentlichungen von Wissenschaftlern und Wissenschaftlerinnen, werden mathematisch als Hypergraphen beschrieben. Forschende am Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften entwickeln eine fundierte mathematische Theorie, welche die spezifischen Eigenschaften verschiedenster Netzwerke identifiziert und deren Verhalten beschreibt. Hierdurch lassen sich auch neue Möglichkeiten der Musterbildung durch gekoppelte Oszillatoren erschließen.

Die algebraische Geometrie beschreibt Formen mithilfe von Polynomen. Die diskrete Geometrie nutzt stattdessen Matrizen und lineare Gleichungen zur Beschreibung von Polyedern. Dieser unterschiedliche Ansatz spiegelt sich in der Art der Algorithmen wider, die zur computergestützten Untersuchung der geometrischen Objekte verwendet werden. Die tropische Geometrie ist eine neuere mathematische Theorie, die zu innovativen Berechnungsmethoden und spannenden Verbindungen zwischen algebraischer und diskreter Geometrie führt. Unsere Forschungsgruppe arbeitet daran, dies weiter voranzutreiben.

Viele praktische Probleme lassen sich auf das Lösen von polynomiellen Gleichungssystemen zurückführen. In diesem Bericht wird eine solche Anwendung vorgestellt. Ausgehend von diesem Beispiel wird diskutiert, was grundlegende Strategien sind um Lösungen zu berechnen und was es in diesem Kontext eigentlich konkret heißt, ein Gleichungssystem zu lösen. Dabei soll herausgearbeitet werden, dass anwendungsbezogene und theoretische Fragestellungen sich nicht gegenseitig ausschließen, sondern einander ergänzen.

Deep Learning ist eine erfolgreiche Methode des maschinellen Lernens. Wir entwickeln eine mathematische Theorie, die dazu beiträgt, dass Deep Learning breiter anwendbar, effizienter, interpretierbarer, sicherer und zuverlässiger wird. Konkret untersuchen wir das Zusammenspiel zwischen a) der Darstellungskraft künstlicher neuronaler Netze als parametrische Sätze von Hypothesen, b) den Eigenschaften und Konsequenzen der Parameteroptimierungsverfahren, welche zur Auswahl einer auf Daten basierenden Hypothese verwendet werden und c) der Leistung trainierter Netze zur Testzeit auf neue Daten.

Inverse Probleme sind allgegenwärtig in der Natur, in medizinischen, ingenieur- und naturwissenschaftlichen Messverfahren und auch in unseren alltäglichen Erfahrungen. In all diesen Problemen ist es das Ziel, durch indirekte Messungen auf Eigenschaften des zugrundeliegenden Systems zu schließen. Da diese Probleme in einem mathematisch präzisen Sinn "schlecht gestellt" sind, erweist sich dies im Allgemeinen als sehr schwer. In diesem Artikel werden einige dieser Herausforderungen anhand von Beispielen, die am MPI MiS untersucht werden, vorgestellt.